Question

10．已知动圆过定点F（0，1），且与直线y=-1相切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 过点F作直线交曲线C于A、B两点．若直线AO、BO（O是坐标原点）分别交直线l：y=x-2于M、N两点，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （I）根据抛物线的性质可知圆心轨迹是以F为焦点，以直线y=-1为准线的抛物线；
（II）设出A，B的坐标，求出OA，OB的方程，求出M，N的坐标，设AB的斜率为k，用k表示出A，B的坐标，从而得出|MN|关于k的函数，利用基本不等式得出函数的最小值．

解答 解：（ I）动圆圆心到定点F（0，1）与定直线y=-1的距离相等，
∴动圆圆心的轨迹为抛物线，其中F（0，1）为焦点，y=-1为准线，
∴动圆圆心轨迹方程为x²=4y．
（Ⅱ）设$A（{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{4}），B（{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{4}）$，∴${k_{AO}}=\frac{x_1}{4}，{k_{BO}}=\frac{x_2}{4}$，
∴AO的方程是：$y=\frac{x_1}{4}x$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x_1}{4}x\\ y=x-2\end{array}\right.∴{x_M}=\frac{8}{{4-{x_1}}}$，
同理由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x_2}{4}x\\ y=x-2\end{array}\right.∴{x_N}=\frac{8}{{4-{x_2}}}$．
∴$|MN|=\sqrt{1+{1^2}}|{x_M}-{x_N}|=\sqrt{2}|\frac{8}{{4-{x_1}}}-\frac{8}{{4-{x_2}}}|=8\sqrt{2}|\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{16-4（{x_1}+{x_2}）+{x_1}{x_2}}}|$
设AB方程为y=kx+1，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.∴{x^2}-4kx-4=0∴\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=-4\end{array}\right.$，
且$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=4\sqrt{{k^2}+1}$，
∴$|MN|=8\sqrt{2}|\frac{{4\sqrt{{k^2}+1}}}{16-16k-4}|=8\sqrt{2}\frac{{\sqrt{{k^2}+1}}}{|4k-3|}$，
设$4k-3=t≠0∴k=\frac{3+t}{4}$，
当t＞0时$|MN|=8\sqrt{2}\frac{{\sqrt{25+{t^2}+6t}}}{4t}=2\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{25}{t^2}+\frac{6}{t}}＞2\sqrt{2}$，
当t＜0时，$|MN|=8\sqrt{2}\frac{{\sqrt{25+{t^2}+6t}}}{4t}=2\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{25}{t^2}+\frac{6}{t}}=2\sqrt{2}\sqrt{{{（\frac{5}{t}+\frac{3}{5}）}^2}+\frac{16}{25}}≥2\sqrt{2}×\frac{4}{5}=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$
所以此时|MN|的最小值是$\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$，此时$t=-\frac{25}{3}$，$k=-\frac{4}{3}$；
综上所述：|MN|的最小值是$\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$．

点评 本题考查了抛物线的定义，抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．