Question

15．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率，椭圆的上，下顶点与两焦点构成正方形．（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若不经过原点的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，且l与x轴不垂直，OA，OB（O为坐标原点）的斜率之积为-$\frac{1}{2}$．求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由正方形，可得b=c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，将点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设不经过原点的直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程x²+2y²=2，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及直线的斜率公式可得1+2k²=2t²，化简整理，即可得到所求三角形的面积．

解答 解：（1）椭圆的上，下顶点与两焦点构成正方形，可得b=c，
a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
将点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入椭圆方程，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设不经过原点的直线l的方程为y=kx+t，
代入椭圆方程x²+2y²=2，可得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
即有△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）＞0，即为t²＜1+2k²，
x₁+x₂=-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
又k_OAk_OB=-$\frac{1}{2}$，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+t）（k{x}_{2}+t）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=k²+$\frac{kt（{x}_{1}+{x}_{2}）+{t}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k²+$\frac{-4{k}^{2}{t}^{2}+{t}^{2}（1+2{k}^{2}）}{2{t}^{2}-2}$=-$\frac{1}{2}$，
化简可得1+2k²=2t²，
O到AB的距离d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
即有△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$d•|AB|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-4kt}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8（{t}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$|t|•$\sqrt{\frac{8（1+2{k}^{2}-{t}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{2}$|t|•$\frac{|t|}{2{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．