Question

6．已知椭圆C的两个焦点是F₁（-2，0），F₂（2，0），且椭圆C经过点$A（0，\sqrt{5}）$．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若过左焦点F₁且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于P、Q两点，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=2，b=$\sqrt{5}$，求得a=3，即可得到所求椭圆方程；
（2）求出直线l的方程，代入椭圆方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用韦达定理，由弦长公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由已知得，椭圆C的焦点在x轴上，
可设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
$（0，\sqrt{5}）$是椭圆短轴的一个顶点，可得$b=\sqrt{5}$，
由题意可得c=2，即有a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=3，
则椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$；
（2）由已知得，直线l斜率k=tan45°=1，而F₁（-2，0），
所以直线l方程为：y=x+2，
代入方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，得5x²+9（x+2）²=45，即14x²+36x-9=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{36}{14}，{x_1}{x_2}=-\frac{9}{14}$，
则$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{1^2}}×\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{2}×\sqrt{\frac{36×36}{14×14}+\frac{4×9×14}{14×14}}=\sqrt{2}×\frac{{6\sqrt{50}}}{14}=\frac{30}{7}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的焦点和点满足椭圆方程，考查弦长公式的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于基础题．