Question

14．如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆O的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．（1）求证：SA∥平面PCD；
（2）求三棱锥S-PCD的体积．

Answer 1

分析 （1）根据条件可知PO∥SA，由线面平行的判定定理即可得出SA∥平面PCD；
（2）由已知可证SP⊥平面PCD，并求得OP，SP的长，代入棱锥体积公式得答案．

解答 （1）证明：连接PO；
∵P、O分别为SB、AB的中点，∴PO∥SA；
∵PO?平面PCD，SA?平面PCD；
∴SA∥平面PCD；
（2）由题意，SO⊥OB，又SO=OB=2，
∴△SOB为等腰直角三角形，
∵P为SB的中点，∴OP⊥SB，
由AB⊥CD，SO⊥CD，SO∩AB=O，得CD⊥平面SOB，∴CD⊥SB．
则SB⊥面PCD，
∴${V}_{S-PCD}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}CD•OP•SP=\frac{1}{6}×4×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．

点评 考查中位线的性质，线面平行、线面垂直的判定定理，考查棱锥体积的求法，是中档题．