Question

17．已知正项等比数列{a_n}，满足a₅+a₄-a₃-a₂=9，则a₆+a₇的最小值为（　　）

• A． 9
• B． 18
• C． 27
• D． 36

Answer 1

分析 可判数列{a_n+a_n+1}也是各项均为正的等比数列，则a₂+a₃，a₄+a₅，a₆+a₇构成等比数列．设其公比为x，a₂+a₃=a，则x∈（1，+∞），a₄+a₅=ax，结合已知可得a=$\frac{9}{x-1}$，代入可得y=a₆+a₇的表达式，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．

解答 解：∵数列{a_n}是各项均为正的等比数列，
∴数列{a_n+a_n+1}也是各项均为正的等比数列，
则a₂+a₃，a₄+a₅，a₆+a₇构成等比数列．
设其公比为x，a₂+a₃=a，
则x∈（1，+∞），a₅+a₄=ax，
∴有a₅+a₄-a₃-a₂=ax-a=9，即a=$\frac{9}{x-1}$，
∴y=a₆+a₇=ax²=$\frac{9{x}^{2}}{x-1}$，x∈（1，+∞），
求导数可得y′=$\frac{18x（x-1）-9{x}^{2}}{（x-1）^{2}}=\frac{9x（x-2）}{（x-1）^{2}}$，令y′＞0可得x＞2，
故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，
∴当x=2时，y=a₆+a₇取最小值：36．
故选：D．

点评 本题考查等比数列的性质，涉及导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，属中档题．