Question

19．设a＞0，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-sinax，x＜\frac{1}{3}}\\{ax+lo{g}_{3}x，x≥\frac{1}{3}}\end{array}\right.$的最小值为1，则a=6．

Answer 1

分析 $x＜\frac{1}{3}$时，3-sinax≥2恒成立，$x≥\frac{1}{3}$时，函数f（x）=ax+log₃x是增函数，故f（$\frac{1}{3}$）=1，进而得到答案．

解答 解：∵$x＜\frac{1}{3}$时，3-sinax≥2恒成立，不满足函数的最小值为1，
又∵a＞0，
∴$x≥\frac{1}{3}$时，函数f（x）=ax+log₃x是增函数，
∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{a}{3}$-1=1，
解得：a=6，
故答案为：6．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值及其几何意义，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．