Question

17．已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=4x上相异两点，且满足x₁+x₂=2．
（Ⅰ）若直线AB经过点F（1，0），求|AB|的值；
（Ⅱ）若AB的中垂线交x轴于点M，M到直线AB的距离为d，且$\frac{|AB|}{d}$=$\sqrt{3}$，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （I）对AB有无斜率进行讨论，联立方程组消元，根据x₁+x₂=2列方程判断有无解；
（II）设AB方程y=kx+b，联立方程组消元，根据x₁+x₂=2得出k，b的关系，代入弦长公式得出|AB|，求出AB的中点，得出AB的中垂线方程解出M的坐标，根据$\frac{|AB|}{d}$=$\sqrt{3}$列方程解出k，得出AB方程．

解答 解：（I）①若直线AB无斜率，则AB方程为x=1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
即A（1，2），B（1，-2）．
∴|AB|=4．
②若直线AB有斜率，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：y=k（x-1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2，方程无解．
综上，|AB|=4．
（II）设AB的方程为y=kx+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4-2kb}{{k}^{2}}$=2，∴b=$\frac{2}{k}-k$．∴x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$=（$\frac{2}{{k}^{2}}$-1）²．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{4-4（\frac{2}{{k}^{2}}-1）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{{k}^{4}-1}}{{k}^{2}}$．
∵y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=2k+2b=$\frac{4}{k}$．∴AB的中点为C（1，$\frac{2}{k}$）．
∴AB的中垂线方程为y-$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-1），即x+ky-3=0．
∴M（3，0）．∴M到直线AB的距离d=|CM|=$\sqrt{（3-1）^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|}$，
∵$\frac{|AB|}{d}$=$\sqrt{3}$，∴$\frac{4\sqrt{{k}^{4}-1}}{{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|}$．即$\frac{2\sqrt{{k}^{2}-1}}{|k|}$=$\sqrt{3}$，
解得k=±2．
当k=2时，b=-1，当k=-2时，b=1．
∴AB的方程为y=2x-1或y=-2x+1．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长公式，属于中档题．