某重点高中拟把学校打造成新兴示范高中.为此制定了很多新的规章制度．新规章制度实施一段时间后.学校就新规章制度随机抽取100名学生进行问卷调查.调查卷共有20个问题.每个问题5分.调查结束后.按成绩分成5组,第1组[75.80).第2组[80.85).第3组[85.90).第4组[90.95).第5组[95.100).绘制成如图所示的频率分布直方图.已知甲.乙两人同在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某重点高中拟把学校打造成新兴示范高中，为此制定了很多新的规章制度．新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度随机抽取100名学生进行问卷调查，调查卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，按成绩分成5组；第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙两人同在第3组，丙、丁二人同在第4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人进行强化培训．
（1）求第3，4，5组分别选取的人数；
（2）求这100人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）记X表示甲、丙、丁三人被选取的人数，求X的分布列和数学期望．

分析（1）由频率分布图，先分别求出3，4，5组的人数，由此能求出用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人进行强化培训，第3，4，5组分别选取的人数．
（2）利用频率分布直方图能求出这100人的平均得分．
（3）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答解：（1）由频率分布图，得：
第3组人数为：0.06×5×100=30人，
第4组人数为：0.04×5×100=20人，
第5组人数为：0.02×5×100=10人，
∵用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人进行强化培训，
∴第3组选取的人数为：30×$\frac{6}{30+20+10}$=3人，
第4组选取的人数为：20×$\frac{6}{30+20+10}$=2人，
第5组选取的人数为：10×$\frac{6}{30+20+10}$=1人．
（2）这100人的平均得分：
$\overline{x}$=0.01×5×77.5+0.07×5×82.5+0.06×5×87.5+0.04×5×92.5+0.02×5×97.5=87.25．
（3）∵第3组选取的人数为3人，第4组选取的人数为2人，第5组选取的人数为1人．
甲、乙两人同在第3组，丙、丁二人同在第4，5组，X表示甲、丙、丁三人被选取的人数，
∴X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{3}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{20}$

EX=$0×\frac{1}{20}+1×\frac{9}{20}$+2×$\frac{9}{20}$+3×$\frac{1}{20}$=1．

点评本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

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