Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=4和椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，动直线l过点M（0，$\frac{3}{2}$）且与圆O交于A，B两点，自A，B分别作x轴的垂线交椭圆C于A₁，B₁，A₁与A，B₁与B不在x轴的异侧．
（1）请探究：直线A₁B₁是否过定点？
（2）若直线AB和A₁B₁相交，证明交点在x轴上．

Answer 1

分析 （1）考虑直线l的斜率为0，求得交点A，B的坐标，可得直线A₁B₁经过点（0，$\frac{3}{4}$），猜想直线A₁B₁过定点（0，$\frac{3}{4}$）．设直线l的方程为y=kx+$\frac{3}{2}$，代入圆的方程，可得x的方程；设直线A₁B₁的方程为y=k'x+$\frac{3}{4}$，代入椭圆x²+4y²=4，可得x的方程，令2k'=k，可得两方程有相同的两根，即可得到定点；
（2）联立两直线方程，求得交点，由2k'=k，即可得到交点在x轴上．

解答 解：（1）当直线l的斜率为0，即l：y=$\frac{3}{2}$，
代入圆O：x²+y²=4，可得交点A（-$\frac{\sqrt{7}}{2}$，$\frac{3}{2}$），B（$\frac{\sqrt{7}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
令x=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$，代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得y=±$\frac{3}{4}$，
由题意可得直线A₁B₁经过点（0，$\frac{3}{4}$），
猜想直线A₁B₁过定点（0，$\frac{3}{4}$）．
设直线l的方程为y=kx+$\frac{3}{2}$，代入圆x²+y²=4，可得
（1+k²）x²+3kx-$\frac{7}{4}$=0，①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程①的两根，
设直线A₁B₁的方程为y=k'x+$\frac{3}{4}$，
代入椭圆x²+4y²=4，可得（1+4k'²）x²+6k'x-$\frac{7}{4}$=0，②
令2k'=k，则方程①②为同一方程，x₁，x₂是方程②的两根．
故直线A₁B₁过定点（0，$\frac{3}{4}$）；
（2）证明：由直线y=kx+$\frac{3}{2}$和直线y=k'x+$\frac{3}{4}$，k≠0，
解方程可得x=$\frac{3}{4（k'-k）}$，y=$\frac{3（k-2k'）}{4（k-k'）}$，
由2k'=k，可得x=-$\frac{3}{2k}$，y=0．
即有直线AB和A₁B₁相交，交点为（-$\frac{3}{2k}$，0），在x轴上．

点评 本题考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查直线恒过定点的求法，注意先运用特殊情况猜想得到定点，考查两直线的交点的特点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．