Question

4．已知函数f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x，给出下列四个命题：
（1）f（x）的最大值为2；
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$后所得的函数是偶函数；
（3）f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上单调递增；
（4）f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称．
其中正确说法的序号是（　　）

• A． （2）（3）
• B． （1）（4）
• C． （1）（2）（4）
• D． （1）（3）（4）

Answer 1

分析 利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的最大值、奇偶性、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．

解答 解：由于函数f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
利用正弦函数的有界性可得它的最大值为2，故（1）正确；
将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$后所得到的函数为y=2sin[2（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$），
显然，所得函数不是偶函数，故（2）错误；
在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，故函数f（x）单调递增，故（3）正确；
令x=$\frac{π}{6}$，求得f（x）=2，为函数的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，故（4）正确，
故选：D．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的最大值、奇偶性、单调性、以及它的图象的对称性，属于基础题．