Question

6．为了解沈阳市高三学生某次模拟考试的数学成绩的某项指标，从所有成绩在及格线以上（90及90分以上）的考生中抽取一部分考生对其成绩进行统计，将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．
（Ⅰ）请将频率分布直方图补充完整，并估计这组数据的平均数M；
（Ⅱ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，y．若|x-y|≥10，则称此二
人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率P₁；
（Ⅲ）用这部分考生成绩分布的频率估计全市考生的成绩分布，并从全市考生中随机抽取三名考生，求成绩不低于120分的人数ξ分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设第四、五组的频率分别为x，y，由已知列出方程组，求出x=0.15，y=0.10，由此能求出频率分布直方图和这组数据的平均数M．
（Ⅱ）依题意先求出第四组的人数，由比能求出选出的二人为“黄金帮扶组”的概率P₁．
（Ⅲ）依题意，求得ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）设第四、五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10，①
x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，②
由①②解得x=0.15，y=0.10，
从而得到直方图．如右图所示．
这组数据的平均数M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5．
（Ⅱ）依题意，第四组的人数为：
4×$\frac{0.015}{0.005}$=12，
∴选出的二人为“黄金帮扶组”的概率P₁=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{16}^{2}}$=$\frac{2}{5}$．
（Ⅲ）依题意，样本总人数为$\frac{4}{0.05}$=80，
成绩不低于120分的人数为：80×（0.05+0.10+0.15）=24，
∴在样本中任取1人，其成绩不低于120分的概率为$\frac{24}{80}=\frac{3}{10}$，
由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-$\frac{3}{10}$）³=$\frac{343}{1000}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（1-\frac{3}{10}）^{2}（\frac{3}{10}）$=$\frac{441}{1000}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（1-\frac{3}{10}）（\frac{3}{10}）^{2}$=$\frac{189}{100}$，
P（ξ=3）=$（\frac{3}{10}）^{3}$=$\frac{27}{1000}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{343}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{27}{1000}$

依题意ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），∴Eξ=3×$\frac{3}{10}$=$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．