Question

11．某体育场要建造一个长方形游泳池，其容积为4800m³，深为3m，如果建造池壁的单价为a且建造池底的单价是建造池壁的1.5倍，怎样设计水池的长和宽，才能使总造价最底？最低造价是多少？

Answer 1

分析 由题意设水池底面的长为x米，宽为$\frac{1600}{x}$米，总造价为y，可得y=$\frac{4800}{3}$•1.5a+2•3（x+$\frac{4800}{3x}$）a=2400a+6（x+$\frac{1600}{x}$）a，运用基本不等式，可得最小值，求得等号成立的条件．

解答 解：由容积为4800m³，深为3m，
设水池底面的长为x米，宽为$\frac{4800}{3x}$即$\frac{1600}{x}$米，总造价为y，
则y=$\frac{4800}{3}$•1.5a+2•3（x+$\frac{4800}{3x}$）a=2400a+6（x+$\frac{1600}{x}$）a≥2400a+6a•2$\sqrt{x•\frac{1600}{x}}$=2880a．
当且仅当x=$\frac{1600}{x}$，即x=40，取得最小值2880a．
则当池底长为40米，宽为40米时，总造价最低为2880a元．

点评 本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．