Question

【题目】已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若 ，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x

=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x

=1×（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x

=cos2x﹣sin2x

= cos（2x+ ）

∴T= =π

（2）解：∵﹣π+2kπ≤2x+ ≤2kπ，k∈Z，

∴﹣ π+kπ≤x≤﹣ +kπ，k∈Z，

∴f（x）的单调增区间为[﹣ π+kπ，﹣ +kπ]，k∈Z

（3）解：由（1）可得f（x）在[0， ]上单调递减，在[ ， ]上递增，

∴f（x）的最小值为﹣ ，

f（0）= cos（0+ ）=1，f（ ）=﹣1，

∴f（x）的值域为[﹣ ，1]

【解析】利用二倍角公式化成 f（x）=cos2x﹣sin2x= cos（2x+ ）;（1）最小正周期T=π．（2）令﹣π+2kπ≤2x+ ≤2kπ，求单调递增区间，（3）根据正弦函数的性质可得f（x）在[0， ]上单调递减，在[ ， ]上递增，即可求出函数的值域
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦函数的单调性(正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数)．