Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b-c）cosA=acosC．
（]）求角A的大小；
（2）设$\overrightarrow{m}$=（0，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosB，2cos²$\frac{C}{2}$）．试求|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理便可由（2b-c）cosA=acosC得，（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，由两角和的正弦公式便可得到2sinBcosA=sinB，从而得出$cosA=\frac{1}{2}$，这便得出$A=\frac{π}{3}$；
（2）先得出$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=（cosB，cosC）$，从而得出$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=\sqrt{co{s}^{2}B+co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1+\frac{1}{2}（cos2B+cos2C）}$，带入2B=（B+C）+（B-C），2C=（B+C）-（B-C），利用两角和差的余弦公式便可以化简成$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=\sqrt{1-\frac{1}{2}cos（B-C）}$，从而看出B=C时，$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|$取到最小值，并可求出该最小值．

解答 解：（1）根据正弦定理，b=2rsinB，c=2rsinC，a=2rsinA，带入（2b-c）cosA=acosC得：
（4rsinB-2rsinC）cosA=2rsinAcosC；
∴（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC；
∴2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB；
∴$cosA=\frac{1}{2}$；
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）$2co{s}^{2}\frac{C}{2}=1+cosC$；
∴$\overrightarrow{n}=（cosB，1+cosC）$；
∴$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=（cosB，cosC）$；
∴$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=\sqrt{co{s}^{2}B+co{s}^{2}C}$
=$\sqrt{\frac{1+cos2B}{2}+\frac{1+cos2C}{2}}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{2}（cos2B+cos2C）}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{2}[cos（B+C）cos（B-C）-sin（B+C）sin（B-C）+cos（B+C）cos（B-C）+sin（B+C）sin（B-C）]}$
=$\sqrt{1+cos\frac{2π}{3}cos（B-C）}$
=$\sqrt{1-\frac{1}{2}cos（B-C）}$；
∴cos（B-C）=1，即B=C时，$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|$取最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查正弦定理，以及两角和差的正余弦公式，二倍角的余弦公式，三角形的内角和为π．