Question

16．已知下面各数列{a_n}的前n项的和为S_n的公式，求数列{a_n}的通项公式．
（1）a₁=$\frac{1}{6}$且S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a_n；
（2）若数列{2^n-1•a_n}的前n项和S_n=9-6n．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，取n=n-1得另一递推式，作差后可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n+2}$（n≥2），然后利用累积法求得数列通项公式；
（2）由数列{2^n-1•a_n}的前n项和得到${2}^{0}{a}_{1}+{2}^{1}{a}_{2}+…+{2}^{n-1}{a}_{n}=9-6n$，取n=n-1得另一递推式，两式作差可得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）由S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a_n，得2S_n=n（n+1）a_n，①
2S_n-1=（n-1）na_n-1 （n≥2），②
①-②得2a_n=（n²+n）a_n-（n²-n）a_n-1，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n+2}$（n≥2），
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{3}{5}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{4}{6}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n+2}$，
累积得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{2×3}{（n+1）（n+2）}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}$；
（2）数列{2^n-1•a_n}的前n项和为S_n，且S_n=9-6n，
则${2}^{0}{a}_{1}+{2}^{1}{a}_{2}+…+{2}^{n-1}{a}_{n}=9-6n$，
${2}^{0}{a}_{1}+{2}^{1}{a}_{2}+…+{2}^{n-2}{a}_{n-1}=9-6（n-1）$，（n≥2），
两式作差得：2^n-1a_n=-6，∴${a}_{n}=-\frac{6}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
由${2}^{0}{a}_{1}+{2}^{1}{a}_{2}+…+{2}^{n-1}{a}_{n}=9-6n$，得a₁=3，
经检验a₁=3不适合${a}_{n}=-\frac{6}{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{-\frac{6}{{2}^{n-1}}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，训练了累积法求数列的通项公式及错位相减法求数列的通项公式，是中档题．