Question

7．若存在实数x₀和正实数△x，使得函数f（x）满足f（x₀+△x）=f（x₀）+4△x，则称函数f（x）为“可翻倍函数”，则下列四个函数
①$f（x）=\sqrt{x}$；  ②f（x）=x²-2x，x∈[0，3]；
③f（x）=4sinx； ④f（x）=e^x-lnx．
其中为“可翻倍函数”的有①④（填出所有正确结论的番号）．

Answer 1

分析 假设是可翻倍函数，从而可得f（x₀+△x）=$\sqrt{{x}_{0}+△x}$，f（x₀）+4△x=4△x+$\sqrt{{x}_{0}}$，从而化简可得4（$\sqrt{{x}_{0}+△x}$+$\sqrt{{x}_{0}}$）=1，存在即可；从而依次判断即可．

解答 解：假设是可翻倍函数，
而f（x₀+△x）=$\sqrt{{x}_{0}+△x}$，f（x₀）+4△x=4△x+$\sqrt{{x}_{0}}$，
故$\sqrt{{x}_{0}+△x}$-$\sqrt{{x}_{0}}$=4△x，
故$\frac{△x}{\sqrt{{x}_{0}+△x}+\sqrt{{x}_{0}}}$=4△x，
故4（$\sqrt{{x}_{0}+△x}$+$\sqrt{{x}_{0}}$）=1，
故x₀=$\frac{1}{1{2}^{2}}$，△x=3•$\frac{1}{1{2}^{2}}$时，成立，故①正确；
而f（x₀+△x）=（x₀+△x）²-2（x₀+△x），f（x₀）+4△x=（x₀）²-2x₀+4△x，
故2x₀△x+△x²-6△x=0，
故x₀=$\frac{6△x-{△}^{2}x}{2△x}$=3-$\frac{△x}{2}$，
故x₀+△x=3-$\frac{△x}{2}$+△x=3+$\frac{△x}{2}$＞3，
故②不成立；
同理可得，③不正确，④正确；
故答案为：①④．

点评 本题考查了学生的学习能力及函数的性质的判断的应用，属于中档题．