Question

18．已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数k＞0，使|f（x）|≤$\frac{k}{2016}$|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“期盼函数”．给出下列函数：
①f（x）=x³；②f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）=$\frac{x}{{2}^{x}+1}$
其中f（x）是“期盼函数”的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据新定义，对每个函数一一验证，即可得出结论．

解答 解：①f（x）=x³，|f（x）|=|x³|≤$\frac{k}{2016}$|x|，即|x²|≤$\frac{k}{2016}$，不存在这样的k对一切实数x均成立，
②f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），|f（x）|=|2sin（x+$\frac{π}{6}$）|≤$\frac{k}{2016}$|x|，
x=0时，|f（x）|=1≤0，不成立；
③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$，则|f（x）|=|$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$|=$\frac{|x|}{{（x+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}}$≤$\frac{4}{3}$|x|，
故对任意的$\frac{k}{2016}$＞$\frac{4}{3}$，都有|f（x）|＜$\frac{k}{2016}$|x|，故③正确；
④f（x）=$\frac{x}{{2}^{x}+1}$，|f（x）|=$\frac{|x|}{{2}^{x}+1}$≤$\frac{k}{2016}$|x|，故④正确；
故选：B．

点评 本题主要考查学生的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，综合性较强．