Question

13．设F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M（3，$\sqrt{2}$）在此双曲线上，点F₂到直线MF₁的距离为$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 将M的坐标代入双曲线的方程，求得直线MF₁：y=$\frac{\sqrt{2}}{c+3}$（x+c），运用点到直线的距离公式计算可得c=2，由离心率公式，计算即可得到所求．

解答 解：将M的坐标代入双曲线的方程可得，
$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，①
由题意可得F₁（-c，0），F₂（c，0），
直线MF₁：y=$\frac{\sqrt{2}}{c+3}$（x+c），即为$\sqrt{2}$x-（c+3）y+$\sqrt{2}$c=0，
即有$\frac{|2\sqrt{2}c|}{\sqrt{2+（c+3）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，解得c=2，
即a²+b²=4，②
由①②可得a=$\sqrt{3}$，b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点满足双曲线的方程和点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．