Question

2．设$f（x）={x^5}+ln（x+\sqrt{{x^2}+1}）$，则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的（（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 先判定函数f（x）的奇偶性与单调性，即可得出．

解答 解：∵$f（x）={x^5}+ln（x+\sqrt{{x^2}+1}）$，x∈R．
∴f（-x）+f（x）=（-x）⁵+$ln（-x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$+x⁵+ln$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$=ln（-x²+x²+1）=0，
∴函数f（x）是R上的奇函数，
又函数f（x）在R上单调递增．
则对任意实数a，b，“a+b≥0”?a≥-b?f（a）≥f（-b）=-f（b）?“f（a）+f（b）≥0”．
∴对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要条件．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．