Question

10．（1）如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{d}$，试用$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{d}$表示$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$．
（2）在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$若P，Q，S为线段BC的四等分点，试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AP}+\overline{AQ}+\overrightarrow{AS}$．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{c}，\overrightarrow{d}$，解方程组得出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$；
（2）根据向量加法的平行四边形法则得出$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AS}=2\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}\\{\overrightarrow{d}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{c}+\frac{4}{3}\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{c}-\frac{2}{3}\overrightarrow{d}$．
（2）∵P，Q，S为线段BC的四等分点，
∴Q是BC的中点，也是PS的中点．
∴$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AS}$=2$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AS}$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{a}+\frac{3}{2}\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，向量加法的几何意义，属于基础题．