Question

1．己知AB=3，BC=7，CD=11，DA=9，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的取值范围是{0}．

Answer 1

分析 过B作BE垂直AC，过D作DF垂直AC，运用勾股定理，可得E，F重合，得AC⊥BD，再由向量数量积的性质，即可得到答案．

解答 解：由AB=3，BC=7，CD=11，DA=9，
知AB²+CD²=BC²+DA²=130，
BC²-AB²=CD²-DA；
过B作BE垂直AC，过D作DF垂直AC，
则AB²=AE²+BE²，BC²=CE²+BE²，
则BC²-AB²=CE²-AE²．
同理CD²-DA²=CF²-AF²，即CF²-AF²=CE²-AE²，
又因为A，E，F，C在一条直线上，
所以满足条件的只能是E，F重合，即有AC垂直BD，
即$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的取值只有一个0．
故答案为：{0}．

点评 本题考查了向量的数量积的取值范围，也考查了勾股定理的运用，是中档题目．