Question

5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2c-a=$\frac{bcosA}{cosB}$，且b=4．则△ABC的周长的最大值为12．

Answer 1

分析 2c-a=$\frac{bcosA}{cosB}$，由正弦定理可得：2sinCcosB-sinAcosB=sinBcosA，利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得：cosB=$\frac{1}{2}$，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{4}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$，再利用和差公式即可得出△ABC的周长的最大值．

解答 解：∵2c-a=$\frac{bcosA}{cosB}$，
由正弦定理可得：2sinCcosB-sinAcosB=sinBcosA，
∴2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，∴2cosB=1，即cosB=$\frac{1}{2}$，
B∈（0，π），解得B=$\frac{π}{3}$．
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{4}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$，
∴$a=\frac{8}{3}\sqrt{3}$sinA，c=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴△ABC的周长=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（sinC+sinA）+4
=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$[sinC+sin$（\frac{2π}{3}-C）$]+4
=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$（\frac{3}{2}sinC+\frac{\sqrt{3}}{2}cosC）$+4
=8$sin（C+\frac{π}{6}）$+4，
∵C∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（C+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$．
∴$sin（C+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$，
∴△ABC的周长的最大值为8+4，即12．
故答案为：12．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角形内角和定理、诱导公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．