Question

15．已知关于x的不等式|x-1|+|4-x|＜m的解集不是空集．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（m）=m+$\frac{1}{（m-3）^{2}}$的最小值及对应的m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|x-1|+|4-x|≥|（x-1）+（4-x）|=3，可得最小值3，由题意可得m＞（|x-1|+|4-x|）_min，即可得到m的范围；
（Ⅱ）由m-3＞0，可得f（m）=（m-3）+$\frac{1}{（m-3）^{2}}$+3=$\frac{m-3}{2}$+$\frac{m-3}{2}$+$\frac{1}{（m-3）^{2}}$+3，再由三元基本不等式，计算即可得到所求最小值及m的值．

解答 解：（Ⅰ）由|x-1|+|4-x|≥|（x-1）+（4-x）|=3，
当（x-1）（4-x）≥0，即1≤x≤4时，取得最小值3．
由不等式|x-1|+|4-x|＜m的解集不是空集，
可得m＞（|x-1|+|4-x|）_min，
即为m＞3．
可得m的取值范围（3，+∞）；
（Ⅱ）函数f（m）=m+$\frac{1}{（m-3）^{2}}$（m＞3），
由m-3＞0，可得f（m）=（m-3）+$\frac{1}{（m-3）^{2}}$+3
=$\frac{m-3}{2}$+$\frac{m-3}{2}$+$\frac{1}{（m-3）^{2}}$+3
≥3$\root{3}{\frac{m-3}{2}•\frac{m-3}{2}•\frac{1}{（m-3）^{2}}}$+3=3+$\frac{3}{2}$$\root{3}{2}$，
当且仅当$\frac{m-3}{2}$=$\frac{1}{（m-3）^{2}}$，即m=3+$\root{3}{2}$，f（m）取得最小值3+$\frac{3}{2}$$\root{3}{2}$．

点评 本题考查绝对值不等式的性质及不等式有解的条件，考查函数的最值的求法，注意运用三元均值不等式，考查运算能力，属于中档题．