Question

15．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是A₁D₁的中点，点F是CE的中点．
（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面BDD₁B₁
（Ⅱ）求证：AE∥平面BDF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明AC⊥平面BDD₁B₁，即可证明平面ACE⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）通过证明OF∥AE，即可证明AE∥平面BDF．

解答 解：（Ⅰ）证明：
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB₁⊥AC，
且BD∩BB₁=B，BD?平面BDD₁B₁，BB₁?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，
又AC?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）证明：设AC、BD交于点O，连接OF，
则OA=OC，
又F是CE的中点，
∴EF=CF，
∴OF∥AE，
又OF?平面BDF，AE?平面BDF，
∴AE∥平面BDF．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间思维能力的应用问题，是基础题目．