Question

8．在平面直角坐标系xOy中，点$A（cosθ，\sqrt{2}sinθ），B（sinθ，0）$，其中θ∈R．
（1）当θ∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求|$\overrightarrow{AB}$|的最大值．
（2）当$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$，|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{\frac{5}{2}}$时，求$sin（2θ+\frac{5π}{12}）$的值．

Answer 1

分析 （1）求出向量$\overrightarrow{AB}$的坐标，从而可得到$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{（sinθ-cosθ）^{2}+2si{n}^{2}θ}$，根据二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式即可得出$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2-\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）}$，根据θ的范围可以求出$2θ+\frac{π}{4}$的范围，从而求出sin$（2θ+\frac{π}{4}）$的最小值，即得出$|\overrightarrow{AB}|$的最大值；
（2）根据$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{\frac{5}{2}}$便可得到$sin（2θ+\frac{π}{4}）=-\frac{\sqrt{2}}{4}$，而由θ的范围可以得出$2θ+\frac{π}{4}$的范围，从而得出$cos（2θ+\frac{π}{4}）$=$-\frac{\sqrt{14}}{4}$，而$sin（2θ+\frac{5π}{12}）=sin[（2θ+\frac{π}{4}）+\frac{π}{6}]$，这样由两角和的正弦公式即可求出$sin（2θ+\frac{5π}{12}）$的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=（sinθ-cosθ，-\sqrt{2}sinθ）$；
∴$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{（sinθ-cosθ）^{2}+2si{n}^{2}θ}$
=$\sqrt{1-sin2θ+1-cos2θ}$
=$\sqrt{2-\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）}$；
∵$θ∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$2θ+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$；
∴$θ=\frac{π}{2}$时，sin$（2θ+\frac{π}{4}）$取最小值$-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$|\overrightarrow{AB}|$的最大值为$\sqrt{3}$；
（2）$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{\frac{5}{2}}$时，$\sqrt{2-\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）}=\sqrt{\frac{5}{2}}$；
∴$sin（2θ+\frac{π}{4}）=-\frac{\sqrt{2}}{4}$；
∵$2θ+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，∴$2θ+\frac{π}{4}∈（π，\frac{5π}{4}）$；
∴$cos（2θ+\frac{π}{4}）=-\frac{\sqrt{14}}{4}$；
∴$sin（2θ+\frac{5π}{12}）=sin[（2θ+\frac{π}{4}）+\frac{π}{6}]$
=$sin（2θ+\frac{π}{4}）cos\frac{π}{6}+cos（2θ+\frac{π}{4}）sin\frac{π}{6}$
=$-\frac{\sqrt{2}}{4}•\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{14}}{4}•\frac{1}{2}$
=$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{14}}{8}$．

点评 考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标求向量的长度，二倍角的正余弦公式，以及两角和的正弦公式，sin²x+cos²x=1，熟悉正余弦函数在各象限的符号．