Question

13．设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出如下四个命题：
（1）若a，b，c成等差数列，则B≤$\frac{π}{3}$；
（2）若B＞$\frac{π}{2}$，则log_sinBsinA＜log_sinBcosC
（3）若b²=ac，则a²+c²-b²≥ac
（4）若sinA-sinB≤0，则A≤B
其中真命题的序号是（1）（3）（4）（要求填上所有真命题的序号）

Answer 1

分析 （1）由a，b，c成等差数列，根据等差数列的性质得到2b=a+c，解出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把b的式子代入后，合并化简，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围以及余弦函数的单调性，再利用特殊角三角函数值即可求出B的取值范围，即可判断；
（2）利用三角形的内角的大小，以及三角函数值的大小，结合对数的图象和性质即可判断；
（3）利用a²+c²≥2ac及已知即可证明结论；
（4）由sinA-sinB≤0，利用正弦定理可得a≤b，结合大边对大角即可得解．

解答 解：（1）由a，b，c成等差数列，得到2b=a+c，即b=$\frac{a+c}{2}$，
则cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{a+c}{2}）^{2}}{2ac}$=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）-2ac}{8ac}$≥$\frac{6ac-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$，
因为B∈（0，π），且余弦函数在（0，π）上为减函数，
所以角B的范围是：0＜B≤$\frac{π}{3}$．故为真命题．
（2）若B＞$\frac{π}{2}$，则0＜sinB＜1，A，C为锐角，无法比较sinA，cosC的大小，故结论不一定正确．故为假命题．
（3）因为：a²+c²≥2ac，即a²+c²-ac≥ac，
当b²=ac时，a²+c²-b²≥ac，显然成立，故为真命题．
（4）由sinA-sinB≤0，即：sinA≤sinB，
由正弦定理，sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，
可得：$\frac{a}{2R}$≤$\frac{b}{2R}$，即a≤b，则A≤B，故为真命题．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评 此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道综合题．