Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，
AD=4，∠PAD=60°．
（1）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
（2）求三棱锥D-PBC的体积．

Answer 1

分析 （1）根据平面几何知识求出AB，取PB中点N，连接MN，CN．根据中位线定理和平行公理可得四边形MNCD是平行四边形，得出DM∥CN，故而有DM∥平面PBC；
（2）利用特殊角的性质得出PD，计算棱锥的底面△BCD的面积，代入棱锥的体积公式计算．

解答 （1）证明：过C作CE⊥AB与E
则AE=CD=3，CE=AD=4，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}=3$，
∴AB=AE+BE=6．
取PB中点N，连接MN，CN．
则MN是△PAB的中位线，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB=3，
又CD∥AB，CD=3，
∴MN∥CD，MN=CD，
∴四边形MNCD为平行四边形，
∴DM∥CN，又DM?平面PBC，CN?平面PBC，
∴DM∥平面PBC．
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD，∵∠PAD=60°，
∴PD=$\sqrt{3}$AD=4$\sqrt{3}$．
又S_△DBC=$\frac{1}{2}CD×AD$=6，
∴V_D-PBC=V_P-DBC=$\frac{1}{3}$S_△DBC•PD=$\frac{1}{3}×6×4\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．