Question

16．已知抛物线y₁═ax²+bx+c与双曲线y₂=$\frac{k^2}{x}$有三个交点A（-3，m），B（-1，n），C（2，p）．则不等式ax³+bx²+cx-k²＞0的解集为{x|x＞2或-3＜x＜-1}．

Answer 1

分析 根据非负数的性质判断出反比例函数图象位于第一、三象限，再根据交点坐标判断出二次函数图象开口向上且对称轴在y轴左边，然后写出二次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可．

解答 解：∵k²＞0，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，
∵抛物线与双曲线交点为A（-3，m）、B（-1，n）、C（2，p）．
∴抛物线开口向上且对称轴在y轴左边，如图所示，
x＞0时，不等式两边同除以x并移项得，ax²+bx+c＞$\frac{{k}^{2}}{x}$，
所以，不等式的解是x＞2，
x＜0时，不等式两边同除以x并移项得，ax²+bx+c＜$\frac{{k}^{2}}{x}$，
所以，不等式的解集是-3＜x＜-1，
综上所述，不等式的解集是{x|x＞2或-3＜x＜-1}．
故答案为：{x|x＞2或-3＜x＜-1}．

点评 本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握反比例函数与二次函数图象的性质是解题的关键，要注意根据x的取值范围分情况讨论，作出图形更形象直观．