Question

4．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E为C₁D₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BEC；
（2）求三棱锥C-BED的体积．

Answer 1

分析 （1）由六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方体，可得BC⊥侧面CDD₁C₁，得到DE⊥BC，在△CDE中，由勾股定理证得DE⊥EC，再由线面垂直的判定得答案；
（2）把三棱锥C-BED的体积转化为三棱锥D-BCE的体积求解．

解答 （1）证明：如图，∵BC⊥侧面CDD₁C₁，DE?侧面CDD₁C₁，
又DE?侧面CDD₁C₁，∴DE⊥BC，
在△CDE中，由已知得$CD=2a，CE=DE=\sqrt{2}a$，
则有CD²=CE²+DE²，
∴∠DEC=90°，即DE⊥EC，
又∵BC∩EC=C，∴DE⊥平面BCE；
（2）∵BC⊥侧面CDD₁C₁且CE?侧面CDD₁C₁，
∴CE⊥BC，
则${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}•BC•CE=\frac{1}{2}×a×\sqrt{2}a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$，
又∵DE⊥平面BCE，∴DE就是三棱锥D-BCE的高，
则${V_{C-BED}}={V_{E-BCD}}={V_{D-BCE}}=\frac{1}{3}•DE•{S_{△BCE}}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}a×\frac{{\sqrt{2}}}{2}a=\frac{a^2}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查了棱柱、棱锥及棱台体积的求法，训练了等积法，是中档题．