Question

3．偶函数f（x）定义在（-1，0）∪（0，1）上，且$f（\frac{1}{2}）=0$，当x＞0时，总有$（\frac{1}{x}-x）f'（x）•ln（1-{x^2}）＞2f（x）$，则不等式f（x）＜0的解集为（　　）

• A． {x|-1＜x＜1且x≠0}
• B． $\left\{x\right.|-1＜x＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜x＜\left.1\right\}$
• C． $\left\{{x|-\frac{1}{2}}\right.＜x＜\frac{1}{2}$且x≠0}
• D． {x|-1＜x＜-$\frac{1}{2}$或$0＜x＜\left.{\frac{1}{2}}\right\}$

Answer 1

分析 根据偶函数的对称性，利用导函数的性质求函数的单调性，利用排除法进行求解．

解答 解：因为f（x）是偶函数，它的图象关于纵轴对称，所以不等式f（x）＜0的解集也应是对称的，所以D排除；
当x＞0时，总有$（\frac{1}{x}-x）f'（x）•ln（1-{x^2}）＞2f（x）$恒成立，即$f'（x）•ln（1-{x^2}）＞\frac{2x}{{1-{x^2}}}f（x）$成立，也就是$f'（x）•ln（1-{x^2}）+\frac{-2x}{{1-{x^2}}}f（x）＞0$恒成立，又因为ln（1-x²）=ln（1-x）+ln（1+x），所以$（ln（1-{x^2}））'=\frac{-1}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{-2x}{{1-{x^2}}}$，所以即是[f（x）•ln（1-x²）]'＞0恒成立，可见函数g（x）=f（x）•ln（1-x²）在（0，1）上单调递增，又因为函数y=ln（1-x²）是偶函数，所以函数g（x）=f（x）•ln（1-x²）是偶函数，所以在（-1，0）上单调递减．
又$f（\frac{1}{2}）=f（-\frac{1}{2}）=0$，所以$g（\frac{1}{2}）=g（-\frac{1}{2}）=g（0）=0$，所以g（x）的图象如下：
所以在$（\frac{1}{2}，1）$时，g（x）＞0，而ln（1-x²）＜0，所以f（x）＜0成立
而在$（0，\frac{1}{2}）$时，g（x）＜0，而ln（1-x²）＜0，所以f（x）＞0，
又由函数f（x）的图象对称性可知，
故选：B．

点评 本题考查利用函数的对称性及导函数的性质求函数单调区间，属于中档题．