Question

3．已知函数f（x）=sin（x-φ）且|φ|＜$\frac{π}{2}$，又${∫}_{0}^{\frac{2π}{3}}$f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（　　）

• A． x=$\frac{5π}{6}$
• B． x=$\frac{7π}{12}$
• C． x=$\frac{π}{3}$
• D． x=$\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 利用${∫}_{0}^{\frac{2π}{3}}$f（x）dx=0求出φ值，然后找出使三角函数f（x）取得最值的x即可．

解答 解：函数f（x）=sin（x-φ）且|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以${∫}_{0}^{\frac{2π}{3}}$f（x）dx=${∫}_{0}^{\frac{2π}{3}}$sin（x-φ）dx=-cos（x-φ）${|}_{0}^{\frac{2π}{3}}$=-cos（$\frac{2π}{3}$-φ）+cosφ=0，
所以tanφ=$\sqrt{3}$，解得φ=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z；
又|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$；
所以f（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$）；
所以函数f（x）的图象的对称轴是x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z；
即x=kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z；
所以f（x）其中一条对称轴为x=$\frac{5π}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查了定积分的计算以及三角函数图象对称轴的求法问题，只要使三角函数取得最值的自变量的值，就是三角函数的一条对称轴．