Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜

1

2

时，S为四边形；
②当CQ=

1

2

时，S不为等腰梯形；
③当CQ=

3

4

时，S与C₁D₁的交点R满足C₁R=

1

3

；
④当

3

4

＜CQ＜1时，S为六边形；
⑤当CQ=1时，S的面积为

6

2

．

Answer 1

考点：平行投影及平行投影作图法

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．

解答： 解：如图
当CQ=

1

2

时，即Q为CC₁中点，此时可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=

1+ 1 4

=

5

2

，
故可得截面APQD₁为等腰梯形，故②不正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜

1

2

，只需在DD₁上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ=

3

4

时，如图，
延长DD₁至N，使D₁N=

1

2

，连接AN交A₁D₁于S，连接NQ交C₁D₁于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=

1

3

，故正确；
④由③可知当

3

4

＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C₁重合，取A₁D₁的中点F，连接AF，可证PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面为APC₁F为菱形，故其面积为

1

2

AC₁•PF=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

，故正确．
故答案为：①③⑤

点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．