Question

9．用数学归纳法证明f（n）=3×5²ⁿ⁺¹+2³ⁿ⁺¹（n∈N^*）能被17整除．

Answer 1

分析 利用数学归纳法即可证明，证明当n=k+1时，变形f（k+1）=3×5^2k+3+2^3k+4=25（3×5^2k+1+2^3k+1）-17×3^3k+1，即可证明．

解答 证明：（1）当n=1时，f（1）=3×5³+2⁴=391=17×23，能够被17整除；
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，f（k）=3×5^2k+1+2^3k+1能够被17整除．
则当n=k+1时，f（k+1）=3×5^2k+3+2^3k+4=25（3×5^2k+1+2^3k+1）-17×3^3k+1，能够被17整除，
综上可得：?n∈N^*，f（n）=3×5²ⁿ⁺¹+2³ⁿ⁺¹能被17整除．

点评 本题考查了数学归纳法、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．