Question

4．抛物线${C_1}：y=\frac{1}{2p}{x^2}（p＞0）$的焦点与双曲线${C_2}：\frac{x^2}{8}-{y^2}=1$的右焦点的连线交C₁于第一象限的点M．若C₁在点M处的切线平行于C₂的一条渐近线，则p=（　　）

• A． $\frac{{7\sqrt{2}}}{16}$
• B． $\frac{{7\sqrt{2}}}{8}$
• C． $\frac{{21\sqrt{2}}}{8}$
• D． $\frac{{21\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=$\frac{1}{2p}$x²（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．

解答 解：由抛物线${C_1}：y=\frac{1}{2p}{x^2}（p＞0）$得x²=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（0，$\frac{p}{2}$）．
由${C_2}：\frac{x^2}{8}-{y^2}=1$得a=2$\sqrt{2}$，b=1，c=3．
所以双曲线的右焦点为（3，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为$\frac{p}{2}$x+3y-$\frac{3}{2}$p=0①．
设该直线交抛物线于M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$），则C₁在点M处的切线的斜率为$\frac{{x}_{0}}{p}$．
由题意可知$\frac{{x}_{0}}{p}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，得x₀=$\frac{\sqrt{2}}{4}$p，代入M点得M（$\frac{\sqrt{2}}{4}$p，$\frac{p}{16}$）
把M点代入①得：$\frac{p}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$p+3×$\frac{p}{16}$-$\frac{3}{2}$p=0．
解得p=$\frac{21\sqrt{2}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．