Question

14．若${（x+\frac{a}{{\root{3}{x}}}）^8}$（a＞0）的展开式中当且仅当第6项系数最大，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $\frac{5}{4}＜a＜2$
• B． $\frac{5}{4}≤a≤2$
• C． $2≤a≤\frac{7}{2}$
• D． $2＜a＜\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 根据二项式展开式的通项公式，结合题意，得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{5}{•a}^{5}}\\{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{7}{•a}^{7}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：${（x+\frac{a}{{\root{3}{x}}}）^8}$（a＞0）的展开式中通项公式为
T_r+1=C₈^r•x^8-r•（$\frac{a}{\root{3}{x}}$）^r=C₈^r•a^r•x^{8-$\frac{2}{3}$r）}，
又展开式中当且仅当第6项系数最大，
则$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{5}{•a}^{5}}\\{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{7}{•a}^{7}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2{8a}^{6}＞5{6a}^{5}}\\{2{8a}^{6}＞{8a}^{7}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得2＜a＜$\frac{7}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了二项展开式的通项公式以及二项展开式各项系数的应用问题，是基础题目．