Question

3．已知等比数列{a_n}，{b_n}的公比分别为q₁，q₂，则q₁=q₂是{a_n+b_n}为等比数列的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 利用等比数列的定义通项公式、充要条件的判定即可得出．

解答 解：等比数列{a_n}，{b_n}的公比分别为q₁，q₂，则q₁=q₂=q⇒$\frac{{a}_{n+1}+{b}_{n+1}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{n}+{b}_{1}{q}^{n}}{{a}_{1}{q}^{n-1}+{b}_{1}{q}^{n-1}}$=q，因此{a_n+b_n}为等比数列；
反之也成立，设{a_n+b_n}是公比为q等比数列，则a_n+b_n=$（{a}_{1}+{b}_{1}）{q}^{n-1}$，${a}_{1}{q}_{1}^{n-1}$+${b}_{1}{q}_{2}^{n-1}$=$（{a}_{1}+{b}_{1}）{q}^{n-1}$，对于?n∈N^*恒成立，∴q₁=q₂=q．
∴q₁=q₂是{a_n+b_n}为等比数列的充要条件．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．