Question

8．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0，利用正弦定理可得sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，化为tanA=$\sqrt{3}$，进而得出．
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，变形6²=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$，解得bc即可得出．

解答 解：（I）∵asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0，
∴sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，
∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴tanA=$\sqrt{3}$，
又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴6²=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$，
∴8²-3bc=6²，化为bc=$\frac{28}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×\frac{28}{3}×sin\frac{π}{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．