Question

13．已知数列{a_n}满足a₁∈（0，2]，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-2，{a}_{n}＞2}\\{3-{a}_{n}，{a}_{n}≤2}\end{array}\right.$，n∈N^*，数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2016，则n=1344．

Answer 1

分析 设a₁=a（0＜a≤2），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-2，{a}_{n}＞2}\\{3-{a}_{n}，{a}_{n}≤2}\end{array}\right.$，n∈N^*，可得a₂=-a₁+3=3-a∈[1，3）．对a分类讨论：当a∈[1，2]时，当a∈（0，1）时，利用递推关系即可得出．

解答 解：设a₁=a（0＜a≤2），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-2，{a}_{n}＞2}\\{3-{a}_{n}，{a}_{n}≤2}\end{array}\right.$，n∈N^*，
∴a₂=-a₁+3=3-a∈[1，3）．
①当a∈[1，2]时，3-a∈[1，2]，∴a₃=-a₂+3=a，…．
∴当n=2k-1，k∈N^*时，a₁+a₂=a+3-a=3，∴S_2k-1=3（k-1）+a=2016，a=1时，a=2时，k不为整数舍去；
当n=2k，k∈N^*时，a₁+a₂=a+3-a=3，∴S_2k=3k=2016，k=672是整数，n=1344．
②当a∈（0，1）时，3-a∈（2，3），∴a₃=a₂-2=1-a∈（0，1），∴a₄=-a₃+3=a+2∈（2，3），a₅=a₄-2=a∈（2，3），…．
当n=4k，k∈N^*时，a₁+a₂+a₃+a₄=a+3-a+1-a+a+2=6，∴S_4k=6k=2016，k=336，∴n=1344；
当n=4k-1，k∈N^*时，a₁+a₂+a₃=a+3-a+1-a=4-a，∴S_4k-1=6（k-1）+（4-a）=2016，舍去；
当n=4k-2，k∈N^*时，a₁+a₂=3，∴S_4k-2=6（k-1）+3=2016，舍去．
当4k-3，k∈N^*时，∴S_4k-2=6（k-1）+a=2015，舍去．
综上可得：n=1344．
故答案为：1344．

点评 本题考查了数列的递推关系、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．