Question

4．已知函数f（x）=ax³-6x²+1，若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-4）
• B． （4，+∞）
• C． （-∞，-4$\sqrt{2}$）
• D． （4$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（$\frac{4}{a}$）＞0，解出即可．

解答 解：当a=0时，f（x）=-12x²+1=0，解得x=±$\frac{\sqrt{3}}{6}$，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；
当a＞0时，令f′（x）=3ax²-12x=3ax（x-$\frac{4}{a}$）=0，解得x=0或x=$\frac{4}{a}$＞0，列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{4}{a}$）	$\frac{4}{a}$	（ $\frac{4}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，
不符合条件：f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，应舍去．
当a＜0时，f′（x）=3ax²-12x=3ax（x-$\frac{4}{a}$）=0，解得x=0或x=$\frac{4}{a}$＜0，列表如下：

x	（-∞，$\frac{4}{a}$）	$\frac{4}{a}$	（$\frac{4}{a}$，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→-∞，∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，∴极小值f（$\frac{4}{a}$）=a（$\frac{4}{a}$）³-6（$\frac{4}{a}$）²+1＞0，
化为a²＞32，
∵a＜0，∴a＜-4$\sqrt{2}$．
综上可知：a的取值范围是（-∞，-4$\sqrt{2}$）．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．