Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-2|，x∈[1，3]}\\{3f（\frac{x}{3}），x∈（3，+∞）}\end{array}\right.$，设集合P={x|f（x）=m，0＜m＜1}（m为常数）的元素为x_i（i=1，2，3…）．其中x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤…，则当n∈N^*时，x₁+x₂+x₃+x₄+…+x_2n=2×（3ⁿ-1）．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-2|，x∈[1，3]}\\{3f（\frac{x}{3}），x∈（3，+∞）}\end{array}\right.$，可得：x∈[1，2]时，f（x）=x-1∈[0，1]；x∈（1，3]时，f（x）=3-x．
当3＜x≤9时，则1＜$\frac{x}{3}$≤3，由f（x）=3f（$\frac{x}{3}$）可知：f（x）∈[0，3]．…，依此类推画出函数图象：根据集合P={x|f（x）=m，0＜m＜1}（m为常数）的元素为x_i（i=1，2，3…）．其中x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤…．利用对称性与中点坐标公式、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-2|，x∈[1，3]}\\{3f（\frac{x}{3}），x∈（3，+∞）}\end{array}\right.$，
∴x∈[1，2]时，f（x）=x-1∈[0，1]；x∈（1，3]时，f（x）=3-x．
当3＜x≤9时，则1＜$\frac{x}{3}$≤3，由f（x）=3f（$\frac{x}{3}$）可知：f（x）∈[0，3]．…，
依此类推画出函数图象：
∵集合P={x|f（x）=m，0＜m＜1}（m为常数）的元素为x_i（i=1，2，3…）．其中x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤…．
∴当1≤x≤3时，则y=f（x），与y=m有两个交点x₁，x₂，且x₁+x₂=2×2=4；
同理，当x∈（0，9]时，则y=f（x），与y=m有两个交点x₃，x₄，且x₃+x₄=2×6=4×3；
同理，当x∈（9，27]时，则y=f（x），与y=m有两个交点x₅，x₆，且x₅+x₆═2×18=4×3²；
…．
∴当n∈N^*时，x₁+x₂+x₃+x₄+…+x_2n=4×（1+3+3²+…+3^n-1）=$4×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=2（3ⁿ-1）．
故答案为：2×（3ⁿ-1）．

点评 本题考查了分段函数的图象与性质、中点坐标公式、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．