Question

18．当|a|≤1，|x|≤1时，关于x的不等式|x²-ax-a²|≤m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3}{4}$，+∞）
• B． [$\frac{5}{4}$，+∞）
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根据绝对值的性质得到|x²-ax-a²|=|-x²+ax+a²|≤|-x²+ax|+a²，从而判断出-x²+ax≥0，得到当x=$\frac{a}{2}$时，取到最大值，从而求出m的范围．

解答 解：|x²-ax-a²|=|-x²+ax+a²|≤|-x²+ax|+|a²|=|-x²+ax|+a²，
当且仅当-x²+ax与a²同号时取等号，
故当-x²+ax≥0，有|x²-ax-a²|=-${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$a²，
当x=$\frac{a}{2}$时，取到最大值$\frac{5}{4}$a²，而|a|≤1，|x|≤1，
∴当a=1，x=$\frac{1}{2}$或a=-1，x=-$\frac{1}{2}$时，
|x²-ax-a²|有最大值$\frac{5}{4}$，
故m≥$\frac{5}{4}$，
故选：B．

点评 本题考察了绝对值的性质，考察求函数的最值问题，是一道中档题．