Question

7．若f（x）=log_a（x²-2ax）在（1，3）上是减函数，则实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由函数g（x）=x²-2ax的对称轴为x=a，a＞1时g（x）在（1，3）上单调递减，且g（x）＞0恒成立，0＜a＜1时g（x）在（1，3）上单调递增，且g（x）＞0恒成立，列出不等式求出a的取值范围．

解答 解：由题意得函数g（x）=x²-2ax的对称轴为x=a，
①当a＞1时，由复合函数的单调性知，g（x）在（1，3）单调递减，
且g（x）＞0在（1，3）上恒成立；
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{g（3）=9-6a＞0}\\{a≥3}\end{array}\right.$，
此时a不存在；
②当0＜a＜1时，由复合函数的单调性知，g（x）在（1，3）单调递增，
且g（x）＞0在（1，3）恒成立；
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{g（1）=1-2a≥0}\\{a≤1}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤$\frac{1}{2}$；
综上，a的取值范围是0＜a≤$\frac{1}{2}$．
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查了由对数函数及二次函数的复合函数的单调性问题，解题中一定要注意对数的真数大于0这一条件的考虑，是易错题．