Question

17．若α∈（0，$\frac{π}{2}$），γ∈（0，π），sinα+sinγ=sinβ，cosα+cosγ=cosβ，则γ-α的值为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 先分别把sinα+sinγ=sinβ，cosα+cosγ=cosβ两边都平方，利用同角三角函数关系式得到2+2（cosαcosγ+sinαsinγ）=1，再由余弦函数加法定理得cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$，由此能求出结果．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），γ∈（0，π），sinα+sinγ=sinβ，cosα+cosγ=cosβ，
sin²α+sin²γ+2sinαsinγ=sin²β，
cos²α+cos²γ+2cosαcosγ=cos²β，
∴2+2（cosαcosγ+sinαsinγ）=1，
∴cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），γ∈（0，π），∴-$\frac{π}{2}$＜γ-α＜π，
∴γ-α=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意同角函数函数关系式、余弦加法定理的合理运用．