Question

19．如图四棱锥E-ABCD，底面四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AB=2，AE=2，求AE与平面BED所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：AC⊥平面BED；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AE与平面BED所成角为∠AEG，求出AG，即可求AE与平面BED所成角的大小．

解答 （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD，
∴AC⊥BE，
∵BD∩BE=B，
∴AC⊥平面BED；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，AE与平面BED所成角为∠AEG．
∵∠ABC=120°，AB=2，
∴AG=$\sqrt{3}$，
∴sin∠AEG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AEG=60°．

点评 本题主要考查线面垂直的判定，以及线面角的计算，要求熟练掌握相应的判定定理．