Question

20．已知集合M={（x，y）|x+y-2≤0，x≥0，y≥0}，集合N={$（x，y）|y≤\sqrt{x}，y≥0$}，若点P∈M，则P∈M∩N的概率为（　　）

• A． $\frac{7}{18}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{7}{12}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，根据图形，求出集合M∩N表示的平面区域d的面积S₁和集合M表示的区域D的面积S，再利用几何概型求出对应的概率．

解答 解：由集合M={（x，y）|x+y-2≤0，x≥0，y≥0}，
集合N={$（x，y）|y≤\sqrt{x}，y≥0$}，
则集合M∩N={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{y≤\sqrt{x}}\end{array}\right.$，x≥0，y≥0}，
图象如图，

∴集合M∩N中的点所构成的平面区域d的面积为
S₁=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx+${∫}_{1}^{2}$（2-x）dx=$\frac{2}{3}$•${x}^{\frac{3}{2}}$${|}_{0}^{1}$+（2x-$\frac{1}{2}$x²）${|}_{1}^{2}$
=$\frac{2}{3}$+（2×2-$\frac{1}{2}$×2²）-（2×1-$\frac{1}{2}$×1²）
=$\frac{7}{6}$，
集合M表示的区域D的面积为S=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
所以点P∈M∩N的概率为P=$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{\frac{7}{6}}{2}$=$\frac{7}{12}$．
故选：C．

点评 本题考查了几何概型的应用问题，也考查了利用定积分求平面区域的面积问题，是综合性题目．