Question

12．分别求出适合下列条件的直线方程：
（Ⅰ）经过点P（-3，2）且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；
（Ⅱ）经过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点，且和A（-3，1），B（5，7）等距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，解出即可；（Ⅱ）先求出直线的交点坐标，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出斜率k即可．

解答 解：（Ⅰ）当直线不过原点时，设所求直线方程为$\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，
将（-3，2）代入所设方程，解得a=$\frac{1}{2}$，此时，直线方程为x+2y-1=0．
当直线过原点时，斜率k=-$\frac{2}{3}$，直线方程为y=-$\frac{2}{3}$x，即2x+3y=0，
综上可知，所求直线方程为x+2y-1=0或2x+3y=0．…（6分）
（Ⅱ）有$\left\{{\begin{array}{l}{2x+7y-4=0}\\{7x-21y-1=0}\end{array}}\right.$解得交点坐标为（1，$\frac{2}{7}$），
当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y-$\frac{2}{7}$=k（x-1），即7kx-7y+（2-7k）=0，
由A、B两点到直线l的距离相等得$\frac{|-21k-7+（2-7k）|}{{\sqrt{49{k^2}+49}}}=\frac{|35k-49+（2-7k）|}{{\sqrt{49{k^2}+49}}}$，
解得k=$\frac{3}{4}$，当斜率k不存在时，即直线平行于y轴，方程为x=1时也满足条件．
所以直线l的方程是21x-28y-13=0或x=1．…（12分）

点评 本题考察了求直线方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题．