Question

16．已知等差数列{a_n}的前5项的和为55，且a₆+a₇=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-6）（{a}_{n}-4）}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-6）（{a}_{n}-4）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的前5项的和为55，且a₆+a₇=36，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=55}\\{{a}_{1}+5d+{a}_{1}+6d=36}\end{array}\right.$，
解得a₁=7，d=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=7+（n-1）×2=2n+5．
（2）b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-6）（{a}_{n}-4）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．