Question

6．已知变量x、y满足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ x≥1\\ x+y-4≤0\end{array}\right.$，点（x，y）对应的区域的面积$\frac{8}{5}$，$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$的取值范围为[2，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 由题意作出其平面区域，从而求出其面积，再由斜率的定义求得$\frac{7}{13}$≤$\frac{y}{x}$≤3，化简$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$，从而求其取值范围．

解答 解：由题意作出其平面区域，

由题意可得，A（$\frac{13}{5}$，$\frac{7}{5}$），B（1，3）；
故点（x，y）对应的区域的面积S=$\frac{1}{2}$×2×（$\frac{13}{5}$-1）=$\frac{8}{5}$
则$\frac{7}{13}$≤$\frac{y}{x}$≤3；
∵$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$
∴2≤$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≤$\frac{10}{3}$
故答案为：$\frac{8}{5}$，[2，$\frac{10}{3}$]．

点评 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．