Question

14．经市场调查，某种商品在80天内的日销售量Q（千克）和售价P（元/千克）均为时间t（天）的函数，日销售量Q与时间t的关系如图1所示，售价P与时间t的关系如图2所示．
（1）写出图1表示的日销售量Q与时间t的函数关系式Q=g（t）；写出图（2）表示的售价P与时间t的函数关系式P=f（t）；
（2）求日销售额y（元）与时间t的函数关系式，并求出日销售额最高的是哪一天？最高的销售额是多少？（注：日销售额=日销售量×售价）．

Answer 1

分析 （1）可看出图1和图2都是两条线段构成的图象，每段线段的端点坐标可以确定，从而可根据点斜式方程写出每条线段对应的方程，这样即可得出$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}t+15}&{0≤t＜40}\\{-\frac{3}{4}t+60}&{40≤t≤80}\end{array}\right.$，$f（t）=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}t+40}&{0≤t＜40}\\{-\frac{3}{4}t+60}&{40≤t≤80}\end{array}\right.$；
（2）根据题意知y=g（t）f（t），g（t）与f（t）相乘会得到每段函数为二次函数的分段函数，然后配方即可求出每段上y的最大值，比较这两个最大值便可得出y的最大值，以及对应的t值，即得出日销售额最高的是哪一天，以及最高的销售额是多少．

解答 解：（1）根据图1看出，图象过点（0，15），（40，30），（80，0）；
∴两条直线的斜率分别为$\frac{30-15}{40-0}=\frac{3}{8}$，$\frac{30-0}{40-80}=-\frac{3}{4}$；
∴$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}t+15}&{0≤t＜40}\\{-\frac{3}{4}t+60}&{40≤t≤80}\end{array}\right.$；
根据图2看出，图象过点（0，40），（40，20），（80，25）；
∴两直线的斜率分别为$\frac{40-20}{0-40}=-\frac{1}{2}，\frac{25-20}{80-40}=\frac{1}{8}$；
∴$f（t）=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}t+40}&{0≤t＜40}\\{\frac{1}{8}t+15}&{40≤t≤80}\end{array}\right.$；
（2）y=g（t）f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{16}（t-20）^{2}+675}&{0≤t＜40}\\{-\frac{3}{32}（t+20）^{2}+\frac{1875}{2}}&{40≤t≤80}\end{array}\right.$；
∴①0≤t＜40时，t=20时，y取到最大值675；
②40≤t≤80时，t=40时，y取到最大值600；
∴日销售额最高的是第20天，最高的销售额是675元．

点评 考查由两点坐标求过这两点直线斜率的计算公式，直线的点斜式方程，分段函数的概念及表示形式，以及配方法求二次函数的最值．