Question

3．已知四边形OADB是以向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$为边的平行四边形，点C为对角线AB，OD的交点，$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$
（1）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{ON}，\overrightarrow{MN}$；
（2）若OA=2，OB=6，MN=1，求平行四边形OADB的面积．

Answer 1

分析 （1）运用向量的加减运算和平面向量的基本定理，化简整理即可得到所求；
（2）由题意可得|$\overrightarrow{MN}$|=1=|$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$|，两边平方，结合向量的数量积的定义，再由平行四边形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，可得$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）
即有$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{OB}$
=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{b}$；
由$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CD}$，可得$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$），
即有$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）
=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$；
（2）由题意可得|$\overrightarrow{MN}$|=1=|$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$|，
即有1=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{36}$$\overrightarrow{b}$²=$\frac{1}{4}$×4-$\frac{1}{6}$×2×6cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞+$\frac{1}{36}$×36，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
即有sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则平行四边形OADB的面积为|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=2×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的加减和平面向量的基本定理的运用，考查向量的数量积的定义、性质，考查运算能力，属于中档题．